GERİ DÖN

Ders Öğretim Planı

Dersin Kodu Dersin Adı Dersin Türü Yıl Yarıyıl AKTS
MAT1302 DİFERANSİYEL GEOMETRİ II Ders 3 6 3,00

Dersin Seviyesi

Lisans

Dersin Sunulduğu Dil

Türkçe

Dersin Amacı

Öğrencilere Diferensiyel Geometriye ait temel kavramları vermek.Eğri ve yüzeyler teorisinin temel kavramlarını vererek, gerek teknolojide ve gerekse diğer disiplinlerde kullanılacak geometrik objeleri yakından tanıma. Yüzeylerin karakteristik özelliklerinden, Gauss dönüşümü, normal eğrilik, asal eğrilik ve diğer eğrilikleri incelenerek öğrencinin diferansiyel geometri yoluyla yüzey problemlerini kavrayıp yorumlanmasında mevcut yeteneklerini geliştirmek. Günlük hayatta yer alan geometrik cisimlerin yüzeylerinden de bahsedilerek öğrencilerin analitik düşünce tarzı geliştirebilmelerini sağlamak. Verilen konuların tartışıldığı uygulamalar yaparak öğrencilere pratik olarak problem çözme yeteneği kazandırmak.

Dersi Veren Öğretim Görevlisi/Görevlileri

Prof.Dr. Bayram Şahin ,Doç. Dr. Feyza Esra Erdoğan

Öğrenme Çıktıları

1 Uzayda eğri ve yüzeylerin genel özelliklerini öğrenme,
2 Diğer disiplinlerle , Diferensiyel Geometrinin ilişkisini kurabilme
3 Değişik uygulama alanları ile, günlük yaşamdaki pratik bağlantılarının verilebilmesi
4 Dönem sonunda dersle ilgili bir proje planlama.

Öğretim Sistemi

Birinci Öğretim

Dersin Ön Koşulu Olan Dersler

Ders İçin Önerilen Diğer Hususlar

[Yok]

Dersin İçeriği

Afin ve Öklid uzayları , Öklid Çatısı, Öklid koordinat fonksiyonları ve sistemi. Diferensiyellenebilir fonksiyonlar,,Diffeomorfizma, Tanjant vektör ve tanjant vektör uzayları, vektör alanları, yöne göre türev ve onun teorem ve uygulamaları; vektör alanı yönündeki türev ve onun teorem ve uygulamaları. Türev dönüşümü.Eğri tanımı, hız vektörü; skaler hızı; parametre dönüşümü ve teoremler ve örnekler; eğrinin yay uzunluğu ve yay parametresi. Eğri üzerinde vektör alanları ve türevleri Kovaryant türev ve ilgili teoremleri, Birim hızlı eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve türev formülleri. Eğrinin bir noktasında Frene doğru ve düzlemleri, eğrilik ve burulmanın geometrik yorumu ve bunlarla ilgili teoremler.İki egri arasında değme tanımı,Eğrinin oskülatör çemberi ve oskülatör küresi, birim hızlı olmayan eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve eğrilikleri, helis eğrisi tanımı ,teoremleri ve örnekleri. Evolüt –İnvolüt eğrilerinin denklemleri ve özellikleri. Bertrand eğrilerinin denklemleri ve özellikleri, Monge eğrisi ve Küresel eğriler ile ilgili teorem ve sonuçları. uzayında yüzey tanımı ve örnekleri, kritik nokta ve kritik değer , Diffeomorfizma, Parametre eğrilerinin ve teğet vektörlerinin türev dönüşümü ile ilişkisi,Herhangi bir yüzeyin tanjant(teğet) uzayı, bir yüzey üzerinde diferensiyellenebilir fonksiyon tanımı ve örnekleri, yüzeyin tanjant uzayıyla igili teoremler ve yüzeyin dik vektör alanı, Herhangi regüler bir yüzeye ait diferensiyellenebilir bir fonksiyonunun teğet teğet yönlü türevi ve bazı teoremler.Manifold(yüzey) üzerinde kovaryant türev ve özelikleri , Şekil operatörü tanımı, Gauss dönüşümü ve Gauss dönüşümü ile yüzeyin şekil operatörü ilişkisi ve bir düzgün yüzeyin şekil operatörünün bulunması. Düzlem ve kürenin şekil operatörü,Bir yüzeyin bir P noktası civarında kuadratik yaklaşımı, Yüzeyin birinci temel formu ve yüzey üzerinde bir eğrinin yay uzunluğu ile ilişkisi, yüzey üzerinde iki eğri arasındaki açı. Yüzeyin dik yörüngelerinin diferensiyel denklemi, parametre eğrilerinin dik kesişme şartı, [II].esas form tanımı.Bir yüzeyin [II]. esas formunun detaylı işlenişi. Eşlenik vektörler, asimtotik vektörler, asal vektörler, [II] temel form ve Ortalama ve Gauss eğriliği ile arasındaki ilişki ,Bir yüzeyin asal eğrilerinin diferensiyel denklemi. Yüzey üzerinde özel eğrilerin tanıtımı. Yüzey üzerinde Darboux çatısı ve Serret- Frenet çatısı ile bağlantısı, Diferensiyel Geometrinin uygulama alanları.

Haftalık Ayrıntılı Ders İçeriği

Hafta Konular (Teorik) Uygulama Öğretim Yöntem ve Teknikleri Ön Hazırlık
1 Afin ve Öklid uzayları , Öklid Çatısı, Öklid koordinat fonksiyonları ve sistemi.
2 Diferensiyellenebilir fonksiyonlar, ,Diffeomorfizma, Tanjant vektör ve tanjant vektör uzayları, vektör alanları, yöne göre türev ve onun teorem ve uygulamaları; vektör alanı yönündeki türev ve onun teorem ve uygulamaları. Türev dönüşümü
3 Eğri tanımı, hız vektörü; skaler hızı; parametre dönüşümü ve teoremler ve örnekler; eğrinin yay uzunluğu ve yay parametresi. Eğri üzerinde vektör alanları ve türevleri Kovaryant türev ve ilgili teoremleri,
4 Birim hızlı eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve türev formülleri. Eğrinin bir noktasında Frene doğru ve düzlemleri, eğrilik ve burulmanın geometrik yorumu ve bunlarla ilgili teoremler.
5 İki egri arasında değme tanımı,Eğrinin oskülatör çemberi ve oskülatör küresi, birim hızlı olmayan eğrilerde Serret-Frenet çatısı ve eğrilikleri, helis eğrisi tanımı ,teoremleri ve örnekleri.
6 Evolüt –İnvolüt eğrilerinin denklemleri ve özellikleri. Bertrand eğrilerinin denklemleri ve özellikleri,
7 Monge eğrisi ve Küresel eğriler ile ilgili teorem ve sonuçları.
8 ARA SINAV
9 3-boyutlu Öklid uzayında yüzey tanımı ve örnekleri, kritik nokta ve kritik değer , Diffeomorfizma, Parametre eğrilerinin ve teğet vektörlerinin türev dönüşümü ile ilişkisi
10 Herhangi bir yüzeyin tanjant(teğet) uzayı, bir yüzey üzerinde diferensiyellenebilir fonksiyon tanımı ve örnekleri, yüzeyin tanjant uzayıyla igili teoremler ve yüzeyin gradyant f dik vektör alanı, Herhangi regüler bir yüzeye ait diferensiyellenebilir bir fonksiyonunun teğet teğet yönlü türevi ve bazı teoremler.
11 Manifold(yüzey) üzerinde kovaryant türev ve özelikleri , Şekil operatörü tanımı, Gauss dönüşümü ve Gauss dönüşümü ile yüzeyin şekil operatörü ilişkisi ve bir düzgün yüzeyin şekil operatörünün bulunması. Düzlem ve kürenin şekil operatörü,
12 Bir yüzeyin bir P noktası civarında kuadratik yaklaşımı, Yüzeyin birinci temel formu ve yüzey üzerinde bir eğrinin yay uzunluğu ile ilişkisi, yüzey üzerinde iki eğri arasındaki açı. Yüzeyin dik yörüngelerinin diferensiyel denklemi, parametre eğrilerinin dik kesişme şartı, [II].esas form tanımı.
13 Bir yüzeyin [II]. esas formunun detaylı işlenişi. Eşlenik vektörler, asimtotik vektörler, asal vektörler, [II] temel form ve Ortalama ve Gauss eğriliği ile arasındaki ilişki
14 Bir yüzeyin asal eğrilerinin diferensiyel denklemi. Yüzey üzerinde özel eğrilerin tanıtımı.
15 Yüzey üzerinde Darboux çatısı ve Serret- Frenet çatısı ile bağlantısı, Diferensiyel Geometrinin uygulama alanları.
16 FİNAL

Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar

1) O’Neill, B., “Elementary Differential Geometry”, Academic Press, New York, 1966. 2)DOCARMO, M.P.,’’Differential Geometry of Curves and Surfaces’’, Prentice Hall Inc.New Jersey,1976.2) 3) Diferensiyel Geometri, 1983,İnönü Uni.yay. Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU,1998.

Planlanan Öğrenme Aktiviteleri ve Metodları

Etkinlikler ayrıntılı olarak "Değerlendirme" ve "İş Yükü Hesaplaması" bölümlerinde verilmiştir.

Değerlendirme

Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri Adet Değer
Ara Sınav 1 100
Toplam 100
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri Adet Değer
Final Sınavı 1 100
Toplam 100
Yarıyıl (Yıl) İçi Etkinlikleri 40
Yarıyıl (Yıl) Sonu Etkinlikleri 60

Staj Durumu

İş Yükü Hesaplaması

Etkinlikler Sayısı Süresi (saat) Toplam İş Yükü (saat)
Ara Sınav 1 2 2
Final Sınavı 1 2 2
Derse Katılım 14 2 28
Uygulama/Pratik 14 1 14
Ara Sınav İçin Bireysel Çalışma 1 20 20
Final Sınavı içiin Bireysel Çalışma 1 30 30
Toplam İş Yükü (saat) 96

Program ve Öğrenme Çıktıları İlişkisi

PÇ 1 PÇ 2 PÇ 3 PÇ 4 PÇ 5 PÇ 6 PÇ 7 PÇ 8 PÇ 9 PÇ 10 PÇ 11 PÇ 12 PÇ 13 PÇ 14 PÇ 15
ÖÇ 1 4 5 4
ÖÇ 2 4 4 4
ÖÇ 3 3 3 4
ÖÇ 4 4 3 3
* Katkı Düzeyi : 1 Çok düşük 2 Düşük 3 Orta 4 Yüksek 5 Çok yüksek